Mathe ist doof!

[Dr.BrainFister]

ich finde mathe doof. trotzdem muss ich mich noch ein paar monate mit diesem fach rumplagen und aufgaben lösen, von denen sogar unser mathelehrer ausnahmsweise mal ganz ehrlich zugibt, dass ich sie später wohl kaum noch brauchen werde.
kopf zerbrechen für nix und wieder nix also. schließlich werd ich weder mathematiker noch informatiker (gähn) noch sonstwas derart.

ich möchte aber all jene, die sich für diesen bereich berufen sehen, bitten, mir ein paar tipps, lösungsansätze usw. zu aufgaben zu bieten, an denen ich im moment festhänge. ich brauche sie dringend zur vorbereitung einer klausur. da der lehrer wie so oft enorm schlecht darauf vorbereitet hat, sich an der tafel dauernd verschreibt und vom eigenen unterricht anscheinend null plan hat, muss ich selber sehen wie ich damit klar komme.
ein wenig unterstützung kann da sicherlich nicht schaden.

hier die aufgaben:

1.) Die Produktion von 2 Fabriken entspricht im Intervall [-4;1] dem Kurvenverlauf folgender Funktionen:

f1(x) = x³ + 2x² + 35

f2(x) = 2x² + 10x + 35

a) Berechne, welche Fabrik über den Zeitraum die höhere Gesamtproduktion hat.

b ) Angenommen, man könnte jeweils den besseren Produktionsverlauf in den einzelnen Intervallen erhalten. Welches Potenzial besteht für Fabrik 1 in den beiden Intervallen?



2.) Die Fläche einer Bakterienkolonie wächst bei einer Ausgangsgröße von 5cm² pro Stunde um 5%.

a) Stellen sie den Term für die Wachstumsfunktion auf.

c) Nach 10 Stunden hört wegen Nahrungsmangel das expotentielle Wachstum auf. Es geht dann nur noch linear (auf einer Geraden) weiter. Berechne die Steigung dieser Wachstumsgerade.



3.) Nach dem Einsatz von Gift nimmt der Bestand einer Pilzkultur jede Minute um 30% ab.

a) Um wieviel Prozent ist die Pilzkultur nach 5 Minuten im Vergleich zur Ausgangsgröße gesunken?

b ) Wie groß ist die Pilzkultur nach 7,5 Minuten?

c) Wann hat die Pilzkultur nur noch 3 % der ursprünglichen Größe?




wir rechneten in letzter zeit vorwiegend mit expotenzialfunktionen und integralrechnung (flächen). auch die eulerische kam kurz dran.
diese rechenarten dürften zur lösung führen. nur wie...

[RocketMan]

Okay...

1.a)
Die Fläche zwischen Produktionskurve und x-Achse gibt die Ausbringungsmenge an. Du mußt die beiden Dinger also einzeln integrieren ("aufleiten") und dann in die so erhaltene Stammfunktion zuerst den einen Wert (1) einsetzen und dann den anderen (-4). Die Differenz dieser beiden Werte (besser: der Betrag der Differenz) ist der gesuchte Wert. Und dann kannst Du vergleichen, für welche der beiden Funktionen dieser Wert höher ist.

b )
Die Fragestellung suggeriert, daß in dem untersuchten Intervall jede der beiden Produktionsfirmen der anderen gegenüber zumindest einmal die Nase vorn hat. Also muß das irgendwo zwischen -4 und 1 wechseln. Und wo die beiden wechseln, da sind sie natürlich gleich hoch, schneiden sich also. Du mußt die beiden Funktionsterme gleichsetzen und nach x auflösen. (Dabei bitte nicht kürzen, nur ausklammern.) Es gibt zwei Lösungen, aber nur eine ist relevant (soll heißen: nur eine liegt zwischen -4 und 1). Danach checkst Du ab, welche Funktion links vom Schnittpunkt die höheren Werte ergibt (einfach einen einsetzen) und dann rechts.
Die gesamte Ausbringungsmenge (das gefragte Potential) ist dann das Integral der "Linkshöheren" von -4 bis zum Schnittpunkt plus das Integral der "Rechtshöheren" vom Schnittpunkt bis 1. (Kann man sich auch bildlich ganz gut vorstellen.)


2.a)
In einer Stunde wachsen die 5 cm² um 5%, also ist es nach einer Stunde 5 * 1,05.
Die zweite Stunde basiert auf dem Wert der ersten, und darauf dann wieder 5%, also: 5 * 1,05 * 1,05 oder aber auch 5 * 1,05².
Bei der dritten dann 5 * 1,05³.
Der Funktionsterm ist also 5 * 1,05 "hoch x". (Die Forumssoftware hat leider keine Hochstellfunktion.)

c) (Was ist mit b?)
Zur Stunde 0 sind wir bei der Fläche 5.
Nach zehn Stunden kommt 5 * 1,05 „hoch 10" raus, das ist ungefähr 8,14.
Jetzt kennst Du zwei Punkte, die auf der Geraden später liegen müssen (linear eben): (0|5) und (10|8,14). Mit der Punkt-/Steigungsformel aus der Mittelstufe kannst Du die Steigung jetzt bestimmen.


3.a)
Das selbe wie 2, nur in Grün. Wir kennen allerdings nicht die Ausgangsgröße der Pilzkultur, daher nehmen wir stellvertretend einfach ein P wie Pilz.
Wenn es um 30% abnimmt, bleiben noch 70% über, nach einer Stunde also P * 0,7.
Nach zwei Stunden P * 0,7² usw. Daraus folgt wieder die Funktion P * 0,7 "hoch x".
Jetzt setzt Du 5 ein und rechnest drauflos.
Aber Vorsicht, es wird gefragt, um wieviel sie gesunken ist, nicht, wieviel noch übrig ist. Du mußt also noch rechnen: (1 - Ergebnis) * 100.

b )
Setze 7,5 ein.

c)
3% der Ursprungsgröße sind 0,03 * P.
Setze einfach gleich: 0,03 * P = P * 0,7 "hoch x"
P darf gekürzt werden: 0,03 = 0,7 "hoch x"
Logarithmieren, nach x Auflösen, fertig.

[Dr.BrainFister]

danke rocketman.
manches leuchtet mir ein, ein paar andere sachen muss ich erstmal ausprobieren, da hats nicht auf anhieb klick gemacht. aber das meiste klingt nachvollziehbar.
ein paar formulierungen waren mir nicht ganz klar:

Es gibt zwei Lösungen, aber nur eine ist relevant (soll heißen: nur eine liegt zwischen -4 und 1). Danach checkst Du ab, welche Funktion links vom Schnittpunkt die höheren Werte ergibt (einfach einen einsetzen) und dann rechts.

woher weiß ich, welche lösung die richtige ist?
und was genau setze ich dann ein, um zu checken welche die höheren werte ergibt?
wie unterscheide ich zwischen links und rechts? blöde frage, ich weiß, aber ich kann mich da schlecht reindenken.

Die gesamte Ausbringungsmenge (das gefragte Potential) ist dann das Integral der "Linkshöheren" von -4 bis zum Schnittpunkt plus das Integral der "Rechtshöheren" vom Schnittpunkt bis 1. (Kann man sich auch bildlich ganz gut vorstellen.)

also hier muss ich die erst die fläche der linkshöheren, dann die der rechtshöheren ausrechnen und dann addieren?

c) (Was ist mit b?)

da ging es darum, die ergebnisse von a) in ein koordinatensystem einzuzeichnen. das lässt sich mit forensoftware nicht darstellen. außerdem weiß ich, wenn ich erstmal die ergebnisse habe, ganz gut wie das geht.

Nach zwei Stunden P * 0,7² usw. Daraus folgt wieder die Funktion P * 0,7 "hoch x".
Jetzt setzt Du 5 ein und rechnest drauflos.
Aber Vorsicht, es wird gefragt, um wieviel sie gesunken ist, nicht, wieviel noch übrig ist. Du mußt also noch rechnen: (1 - Ergebnis) * 100.

* bedeutet doch multiplizieren, oder?
dann hinge also an jedem ergebnis noch die variable P ?
wenn ich dann am schluss in die klammer das ergebnis einsetze, kann ichs doch nur richtig ausrechnen, wenn die variable fehlt? muss ich da was kürzen oder umstellen?
vielleicht so:
(1 - xP) * 100 = 100 - 100xP
aber wie dann weiter? ( x steht für das ergebnis.)


ps:
wer weitere tipps hat, darf sie gerne posten. in der mathematik scheint es ja doch nie den lösungsweg zu geben.

[RocketMan]

woher weiß ich, welche lösung die richtige ist?
und was genau setze ich dann ein, um zu checken welche die höheren werte ergibt?
wie unterscheide ich zwischen links und rechts? blöde frage, ich weiß, aber ich kann mich da schlecht reindenken.

Es gibt sogar drei Lösungen (hatte vorhin einen Denkfehler), von denen aber nur zwei passen.
Beim Gleichsetzen und Auflösen nach x bekommst Du die Werte:
Wurzel 10, ungefähr 3,16 (ungültig, weil nicht zwischen -4 und 1)
- Wurzel 10, ungefähr -3,16 (paßt&#33
0, paßt auch ins genannte Intervall!

Damit sind folgende Abschnitte zu untersuchen...
-4 bis -3,16
-3,16 bis 0
0 bis 1

Du setzt einfach irgendeinen Wert ein, der dazwischen liegt (also beispielsweise -3, -2 und 0,5), und dann siehst Du, welche Funktion in diesem Abschnitt höher ist.

also hier muss ich die erst die fläche der linkshöheren, dann die der rechtshöheren ausrechnen und dann addieren?

Es sind ja jetzt doch drei Abschnitte (siehe oben). Und für jeden rechnest Du das Integral der höheren Funktion aus, in den durch den Abschnitt selbst gesetzten Grenzen. Die drei Zahlen addierst Du (aber nur betragsmäßig, vorher alle Minusse killen).

* bedeutet doch multiplizieren, oder?
dann hinge also an jedem ergebnis noch die variable P ?
wenn ich dann am schluss in die klammer das ergebnis einsetze, kann ichs doch nur richtig ausrechnen, wenn die variable fehlt? muss ich da was kürzen oder umstellen?
vielleicht so:
(1 - xP) * 100 = 100 - 100xP
aber wie dann weiter? ( x steht für das ergebnis.)

* steht für die Multiplikation.
Aber ansonsten meine ich das anders. Sagen wir mal, Du setzt jetzt die 5 ein. Dann bekommst Du heraus 0,17 * P.
Ganz egal wieviel P anfangs da war, jetzt sind nur noch 17% da. Und damit hat es um 83% abgenommen.
Mit meiner Gleichung wollte ich nur ausdrücken, wie man vom Ergebnis vor dem P auf die 83 kommt:
(1 - Ergebnis) * 100 = (1 - 0,17) * 100 = 0,83 * 100 = 83%

[Alucard]

kann mir hier irgendwer das newton'sche näherungsverfahren in bezug auf komplexe gleichungen näher bringen? das ist mir einfach zu hoch (auch oder gerade weil es so leicht aussieht)

[Alucard]

ok jetzt hab ichs geschnallt nach gut 3h^^